圆形简单、对称、精致。但是我们到底要怎样去度量它呢？就这个问题而言，其实质是我们要怎样去度量弯曲的形状。
关于圆形，我们需要注意的之一件事情是，圆上的任意一点距离圆心的距离都相等。毕竟，只有这样它才能够成为一个圆。圆上的任意一点距离圆心的距离，我们称之为圆的半径。由于所有的圆其形状都相同，因此只有半径能够使一个圆区别于另外一个圆。圆的周长，我们称之为圆周（circumference，拉丁语“随身携带”的意思）。我想，对于圆而言，最自然的度量便是其面积和圆周。
让我们从做一些近似开始吧。如果我们在圆上放置一定数目的等距离的点，然后连接各点，由此我们就会得到一个正多边形。
这个正多边形的面积和周长的值比圆的相应值要小一些，但这两对值相当接近。如果我们放置更多的点，则可以使这两对值更加接近。假定我们所使用的点的数目很大，比方说为n。于是，我们就得到一个正 n边形，且其面积和周长与圆的真实面积和周长非常接近。关键的一点是，随着正 n边形边数的增多，正n边形也会越来越近似于圆。那么，此正多边形的面积又是多少呢？让我们将它切分成 n个相同的三角形吧。
这样，每个三角形的底边长度就等于正多边形的边长，令其为 s。而三角形的高度则是从圆心到正多边形边的距离，我们称该高度为 h。因此，每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积则为1/2hsn。注意到 sn正好是正多边形的周长，因此我们可以得出如下等式：
其中的 p为正多边形的周长。就这样，使用周长和圆心到边长的距离，我们将正多边形的面积精确地表示了出来。
然而，随着边数 n无限地增大，情况又会怎样呢？显然，正多边形的周长 p将会和圆的周长 C越来越接近，而高度 h也将会逼近圆的半径r。这说明正多边形的面积必然会逼近1/2rC，而同时正多边形的面积也一直在逼近圆的真实面积 A。那么，唯一的结论只可能是，这两个数值必然相等，即
这表明，圆的面积刚好等于半径与圆周的乘积的一半。
一种思考该结论的好 *** 是，设想将圆周展开成一条直线，则该直线和圆的半径刚好形成一个直角三角形。
我们所得出的公式表明，圆形所占据的面积刚好和这个直角三角形的面积相等。
这里，有一种很重要的 *** 。仅仅通过做一些近似，我们就不经意地得出了圆的面积的精确表示。关键的一点是，我们并不只是做了几个精确程度很高的近似，而是做了无穷多个近似。我们构造了一个精确程度越来越高的无穷近似序列，这无穷多个近似已经足以让我们看出其中的模式并得到它们的极限。换句话说，我们可以从一个有模式的无穷近似序列中得知真理。因此，将这视为迄今为止人类所产生的最伟大的想法，是有一定道理的。
这种奇妙的 *** ，我们一般称之为穷竭法，它是由古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，柏拉图的一位学生）于公元前 370年左右发明的。它让我们可以通过构造无穷的直线近似序列来度量弯曲的形状。运用穷竭法构造无穷近似序列的诀窍是，所构造出的无穷序列必须具有某种模式——一个无穷的随机数序列并不能告诉我们什么有价值的信息。因此，只有一个无穷的序列是不够的，我们还必须能够发现其中的模式从而理解该序列。
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现在，我们已经用圆周将圆的面积表示了出来。但圆周是否也可以度量呢？对正方形而言，用相对于边长的比例来度量周长是很自然的，即四周的长度与一条边长的比值。同样，对于圆，我们也可以采用这样的 *** 。通过圆心的直线与圆的两个交点之间的距离，我们称之为圆的直径（显然直径正好是半径的两倍）。因此，对圆来说，类似的度量将会是圆周与直径的比值，即圆周率。由于所有的圆其形状都相同，
因此，对每一个圆来说，该比值都是相等的。通常，我们使用希腊字母 pi 或 π来表示该比值。π对于圆的意义，正与4对于正方形的意义相同。
要对π的取值做一些近似并不是很困难。例如，假定我们在圆中放入一个内接正六边形。
此正六边形的周长正好是圆的直径的三倍。由于圆周比此正六边形的周长要长一些，因此，我们得出π的取值要比 3大一些。如果使用边数更多的正多边形，那么我们将会得到精确程度更高的近似值。阿基米德（生活于公元前 250年左右）就曾使用正 96边形，得出了π≈22/7。许多人都有这样的错觉，以为这是一个严格的等式，但实际上它并不是。π的真实取值要稍微小一点，一个相对精确的近似值是π≈3.1416，一个更精确的近似值π≈355/113，这个近似值由五世纪时的中国人（祖冲之，小编注）给出。
但是， π的精确取值到底是多少呢？很遗憾，关于该取值的消息相当糟糕。由于 π是无理数（该性质由兰伯特于 1768年证明），因此，我们不可能将它表示为两个整数的比值。特别是，想要将直径和圆周都表示为同一个计量单位的整数倍，则是绝对不可能的。
实际上，我们面临的情况要比处理正方形的对角线时所遇到的情况更糟。虽然√2也是无理数，但我们至少可以这样表述它，即“其平方为2的数”。换句话说，我们可以使用整数的算术来表达√2所满足的关系式，即它是这样的一个数 x，满足 x² = 2。我们虽然也不知道√2的取值到底是多少，但我们知道它的性质。
结果表明，π有着不同的情况。它不仅不能够用分数表示，事实上，它也不能满足任何的代数关系。π有什么用呢？除了表示圆周率之外，其实它并没有什么别的作用。π就是π。像π这样的数，我们称之为超越数（transcendental，拉丁语“超出”的意思）。超越数（它们的数目有很多）根本就超出了代数所具有的表达能力。林德曼于 1882年证明了 π是一个超越数。这真的很神奇，我们居然还能够知道像超越数这样的数。
然而，另一方面，数学家们也发现了不少π的其他表示 *** 。比如莱布尼茨于 1674年发现了如下的公式：
这里的想法是，随着公式右边相加项数的增多，其相加之和也会越来越接近公式左边的数值。因此， π可以表示为无穷项之和。该公式至少向我们提供了 π的纯数值表示，而且在哲学上它也非常的有趣。更重要的是，这样的表示就是我们所能得出的全部。
以上就是故事的全部。圆周和直径的比值是 π。然而，对于这样的比值，我们却无能为力。我们所能做的，只能是将它加入从而扩展我们的语言。
特别地，半径为 1的圆，其直径为 2，因此其圆周为 2π。该圆的面积是半径与圆周乘积的一半，亦即正好是π。将该圆按比例 r放大，由此我们得到一个半径为 r的圆，其圆周和面积可由下列公式得出：
C=2πr
A=πr²
值得注意的是，上述之一个公式实际上并无实质内容，它只不过是π的定义的重新表述。第二个公式才真正地有深刻的内容，它和我们在前一节中所得的结果等价，即圆的面积等于其半径与圆周乘积的一半。
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