数的发展史（数系发展历程）

数的发展史（数系发展历程）什么是数系呢？数系可以简单的理解成数字系统。它包括日常生活中常用的自然数、分数、小数等，同样也有像虚数、p进数这样主要用于科研中的数。

自然数首先被我们所认识，然后有了分数和负数，接着又出现了无理数，后面还有虚数，四元数等等。我们可以发现，人类不是一下子就掌握了这些数，认识这些数不是没有缘由的，也不是一蹴而就的，相反，这是一个漫长曲折的过程。

 

 

图一 人类进化

其实人类最早发明的数系并不是自然数系。在远古时代，人类初期对于数的认识仅限于“1”“2”“3”，再往上走就是“许多”，有些部落甚至只能数到2，所以最早人类使用的数系应该是有限数系｛1，2，3｝或者｛1，2｝。在这里我们必须意识到：“1，2，3，4，5”并不是一起被创造的，当然，“0”的发现是更加后面的事情了。数对当时的人类的确很有用处，仅仅是计算获取的猎物，就已经让他们方便了许多。凑巧的是，数系的扩张就是从计算开始的。可想而知，原始人类每次获取的猎物，譬如野兔，不可能总是一只，两只，或三只，往往他们需要更大的数来数清自己的猎物数量。没错，数数就是最基本的数学运算--加法，从1数到5，就相当于1+1+1+1+1，尽管这种运算单调且效率极低。幸运的是，后来人们发现了更广泛的数数，即：不必从1开始数，也不必一次只数1个单位，这样一来，从1数到5，就可以2+2+1了。如果需要数两堆猎物，这样的数数就更方便了，人们可以先数清一堆猎物的数量，譬如4，再数另一堆的数量，譬如5，然后4+5=9，于是，人类发明了加法。有了加法之后，人们发现：任意两个数想加，其得数必大于这两个数(我们的祖先在这个时候还没有发现“0”，以及负数)，这样就能不断创造一个更大的数，于是一个伟大的结论出现了：数是无穷的。而这样的数正是自然数。

 

 

图二 许多

人类在自然数上停留了很长时间，因为它对于加法是够用的，即使后来人类发明了乘法，自然数系也依然够用。换句话说，所有自然数通过加法和(或)乘法运算所得到的数依然是自然数。但后来人类不可避免地发明了减法。当然，自然数对于部分减法运算也是够用的，譬如：6-4=2，15-3=12，但若遇到像2-3，3-5这样的情况就束手无策了。于是负数就应运而生了，从此数系从自然数扩充到了整数。

 

 

图三 自然数

 

 

图四 负数

加法的逆运算减法被发明之后，乘法的逆运算除法也如期而至，当然也遇到了与减法相同的问题：类似于5÷2的计算结果是多少，显然，它位于2和3之间，不是一个整数，于是人们发明了分数(有限小数和无限循环小数)去表示这样的运算结果。从此，数系由整数扩充到了有理数。

 

 

图五 分数

有理数系对于加减乘除四则运算都是够用的，学术点来说，有理数系对加减乘除四则运算封闭。但其并不是完美的，唯一的瑕疵在于，有理数系必须去掉“0”才能对除法封闭，因为人们至今还没搞懂任意有理数除以0的得数是多少，这也是为什么0不能作为除数和分母的原因。虽然这个瑕疵导致我们有时候不得不分条件讨论除以0的情况，但在许多情况下这并不困难，因此除了遇到可能除以0的情况，我们仍然可以放心大胆地在有理数系中使用四则运算。

 

 

图六 有理数

从自然数系扩充到有理数系似乎是必然的结果，貌似所有的数都被有理数系包涵了，古希腊的数学家们尤其这样认为。古希腊时期的毕达哥拉斯(约公元前580年-公元前500年）将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。而他所说的数，都可表示为整数或整数之比，即有理数。但不久之后，其“万物皆为数”的观点受到了致命的冲击，而带来这冲击的这是毕达哥拉斯的门徒--希帕索斯。

 

 

图七 毕达哥拉斯

 

 

图八 希帕索斯

希帕索斯在研究勾股定理时发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度√2就不能归结为整数或整数之比。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希帕索斯居然用数学 *** 证实了这种新数存在的合理性，后来被命名为无理数。希帕索斯经洞察力获得的这一成果，本应被毕达哥拉斯所接受，然而，毕达哥拉斯始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。然而更使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。最终，只有在毕达哥拉斯死后，无理数才得以安全地被讨论着。无理数的发现推翻了毕达哥拉斯学派建立的数学大厦，由此引发了数学史上的之一次危机。

 

 

图九 无理数

无理数的发现确实带有一定的戏剧性，并且人类为此付出了生命的代价，但从运算的角度来说，无理数的发现也会是一个必然。就像加法有其简便运算乘法，乘法也有它的简便运算，那就是乘方，譬如：4+4+4+4=4×4=42。就像加法有逆运算减法，乘法有逆运算除法，乘方也有其逆运算--开方。人们发现每个有理数通过乘方（正整数次相乘）都能得到另一个有理数，然而开方却不能，譬如前面讲到的√2，所以类似于√2这样的数是不能称之为有理数的，数系因此再次得到扩充，引入无理数，扩充到实数系。√2的确不是一个有理数，因为它既不是整数，也不是整数之比，希帕索斯当时已经用归谬法向毕达哥拉斯给出了证明，后来，欧几里得又使用经典的反证法验证了这一结论。

有理数的命名来源也颇有趣味。有理数在古希腊的名称为λογο?，意为“成比例的数”，英文翻译为“rational number”,到了日本就翻译成了“有理数”，因为“rational”更通俗的翻译为“理性的”，国人那时便以讹传讹，直接照搬了过来。但仔细想想，这样的翻译也独有韵味，当然，与有理数相对应的数被称作无理数也无可厚非了。

人们在实数系大概停留了有2000年的时间，直到公元16世纪，意大利数学家卡尔达诺发表了一般三次方程的求解公式，从此虚数开始萌芽而生，人们开始了数系的又一次扩充之旅。

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